İntegral, matematikte bir eğrinin altındaki alanın belirlenmesinde çok yararlı olan önemli bir kavramdır. Bir fonksiyonun türevini bulmanın tersidir. İntegral hesapta türevi bilinen fonksiyonu belirleriz.
Bir f(x) = 4x – 1 fonksiyonunun olduğunu ve F'(x) = f(x) olacak şekilde bir F fonksiyonu bulmak istediğinizi varsayalım. f(x)’in terstürevini arıyorsunuz. Bir fonksiyonun terstürevini bulmak için türevi bulma işleminin tersini kullanırız.
Bir türev bulma sürecine farklılaşma adı verildiği gibi, bir antiderivatif bulma sürecine de antidiferansiyasyon denir. Bu yazımızda integrasyon konusunu tanımı, anlatımı, önemli özellikleri ve örnekleriyle ele alacağız.
Entegrasyonun Tanımı:
Eğer F'(x) = f(x) ise, F fonksiyonuna f fonksiyonunun ters türevi denir. f(x) = x^n’nin ters türevleri = ∫01 (f(x) – g(x)) ile verilir, burada n ≠ -1 ve C keyfi bir sabittir.
Eğer F'(x) = f(x) ise ∫ f(x) dx = F(x) + C yazarız ve ∫ f(x) dx ifadesine belirsiz integral denir. f’nin x’e göre antitürevi veya f’nin x’e göre integrali olarak okunur. Belirsiz bir integral ∫ f(x) dx, bir sabit kadar farklılık gösteren fonksiyonlar ailesini verir.
Belirsiz İntegraller hakkında daha fazla bilgi:
- • ∫ (1/ x) dx = ln |x| + C
- • ∫ ex dx = ex + C
- • ∫ (ax + b)n dx = [1/ a (n + 1)] [(ax + b)n + 1] + C
- • ∫ eax + b dx = (1/a) eax + b + C
- • ∫ [1/ (ax + b)] dx = (1/a) ln |ax + b| + C
- • ∫ k dx = kx + C
- • ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
- • ∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± g(x) dx
- • ∫ xn dx = (1/n+1) xn + 1 + C (where n ≠ 1)
Ayrıca ∫ab f(x) dx belirli integralini de inceleyeceğiz. Bu integraller ortak bir simgeyi paylaşsalar da belirli integral bir fonksiyondan çok bir sayı verir. ∫ab f(x) dx, f(x)’in x’e göre a’dan b’ye integrali olarak okunur; burada a ve b, integralin limitleridir.
Bir f(x) fonksiyonunun grafiği ile x ekseni arasındaki alana eğrinin altındaki alan denir. Matematikte eğri, koordinat düzlemindeki bir grafiktir, dolayısıyla eğriler düz çizgiler içerir. f, a ≤ x ≥ b için negatif olmayan bir fonksiyonsa, o zaman ∫ab f(x) dx, aşağıda gösterildiği gibi x = a’dan x = b’ye kadar f eğrisinin altındaki alanı temsil eder.
Eğri Altındaki Alan:
x = a ile x = b arasındaki eğrinin altında kalan alanın formülü de A = ∫ab y dx olarak verilmiştir. Fonksiyon x ekseninin altında olduğunda alan pozitif olsa bile integral negatif olacaktır..
Eğriler Arasındaki Alan:
Eğer y1 ve y2 a ≤ x ≤ b üzerinde sürekliyse ve a ≤ x ≤ b’deki tüm x’ler için y1 ≥ y2 ise, x = a’dan x = b’ye kadar y1 ve y2 arasındaki alan şu şekilde verilir: A = ∫ab (y1 – y2) dx.
Belirli İntegralin Özellikleri:
- ∫ab k f(x) dx = k ∫ab f(x) dx
- ∫ab (f(x) ± g(x)) dx = ∫ab f(x) dx ± ∫ab g(x) dx
- ∫aa f(x) dx = 0
- ∫ab f(x) dx = – ∫ba f(x) dx
- ∫ab f(x) dx = ∫ac f(x) dx + ∫cb f(x) dx (when a < c < b)
Entegrasyon sorunları nasıl hesaplanır?
İntegral problemlerini Integral hesaplama hesap makinesini kullanabilirsiniz. Entegrasyon sorunlarının manuel olarak nasıl hesaplanacağını anlamak için aşağıda birkaç örnek verilmiştir.
Örnek 1:
Eğrilerin sınırladığı bölgenin alanını bulun y = 4 – x2 Ve y = x + 2.
Çözüm:
Aşama 1: Verilen bilgi:
Eğriler: y = 4 – x2 Ve y = x + 2
Adım 2: Öncelikle iki fonksiyonun kesişim noktalarının x koordinatlarını şu şekilde bulacağız:
4 – x2 = x + 2
x2 + x – 2 = 0
x2 + 2x – x – 2 = 0 (Faktoring)
x (x + 2) – 1 (x + 2) = 0
(x + 2) (x – 1) = 0
x = – 2, x = 1
şunu gözlemleyebiliriz x = -2 ile x = 1:
4 – x2 ≥ x + 2 ve şunu düşünebiliriz y = 4 – x2 üst eğri olarak ve y = x + 2 alt eğri olarak.
Aşama 3: İki fonksiyon arasındaki alan için belirli bir integral yazın.
Alan = ∫-21 [(4 – x2) – (x + 2)] dx
Alan = ∫-21 (2 – x – x2) dx
Alan = [2x – (1/2) x2 – (1/3) x3]-21
Alan = [2(1) – (1/2) (1)2 – (1/3) (1)3] – [2(- 2) – (1/2) (- 2)2 – (1/3) (- 2)3]
Alan = [2 – (1/2) – (1/3)] – [- 4 – 2 + (8/3)]
Alan = [(12 -3 – 2) / 6] – [(-12 – 6 + 8) / 3]
Alan = (7 / 6) – (- 10 / 3)
Alan = (7/6) + (10/3)
Alan = (7 + 20) / 6
Alan = 27 / 6 = 9/2 Ans.
Örnek 2:
Fonksiyonun belirsiz integralini bulun ∫ (4t3 + 6t2 + 3) dt.
Çözüm:
Aşama 1: Verilen bilgi:
∫ (4t3 + 6t2 + 3) dt
Adım 2: Uygun kuralları kullanarak çözün.
∫ (4t3 + 6t2 + 3) dt = ∫ 4t3 dt + ∫ 6t2 dt + ∫ 3 dt (sum rule)
∫ (4t3 + 6t2 + 3) dt = 4∫ t3 dt + 6∫ t2 dt + 3∫ dt (sabit kural)
∫ (4t3 + 6t2 + 3) dt = 4 (1/3 + 1) t3 + 1 + 6 (1/2 + 1) t2 +1 + 3t + C (güç ve sabit)
∫ (4t3 + 6t2 + 3) dt = 4 (1/4) t4 + 6 (1/3) t3 + 3t + C
∫ (4t3 + 6t2 + 3) dt = t4 + 2t3 + 3t + C Ans.
Sonuç:
Bu yazımızda entegrasyon konusunu ele aldık. İntegral ile ilgili problemleri çözmemize yardımcı olan belirsiz ve belirli integralleri faydalı özellikleriyle açıkladık. Son bölümde bunu tam olarak kavrayabilmek için bazı örnekler verdik.
Umarım bu makaleyi okuyarak entegrasyon kavramını kolayca anlayabilirsiniz. Ayrıca integral problemlerini çok verimli bir şekilde kavrayabilecek ve çözebileceksiniz.
